9«а» класс лицея № 185 был сформирован к сентябрю 2012 года и вот уже второй год учится по программе с углублённым изучением математики. При подготовке к урокам учителям приходится учитывать как особенности учебной программы и содержание учебников, так и психологические особенности ребят. Важным фактором, влияющим на успешное усвоение учащимися сложного математического материала, является разделение класса на две учебные группы. Ведение уроков математики по группам, в которых не более 12-13 учащихся, делает обучение в значительной степени личностно-ориентированным, позволяет учителю более обоснованно влиять на весь ход учебного процесса.

Характерным примером урока в специализированном классе является проведённый 13 марта 2014 года учителями Белиной Людмилой Ивановной и Серегиным Григорием Михайловичем урок геометрии. Остановимся на некоторых важных положениях, которыми руководствуются учителя при разработке содержания уроков такого типа.

Во-первых, необходим постоянный контроль усвоения учебного материала. Этот контроль может проводиться на любом этапе урока и может быть как устным, так и письменным. Особое внимание уделяется выполнению домашних заданий, что обеспечивает в достаточной степени закрепление изученного материала и выработке навыков решения задач. В содержание проведённого урока был включён тест на дополнение, выполнение которого позволило в определённой степени проверить знания учащихся по изученной теме.

Во-вторых, задачи, предложенные учащимся специализированного класса, были ориентированы на достаточно высокий уровень понимания изученного материала.

Несомненный интерес учащихся класса вызывает поиск нескольких способов решения одной и той же задачи. Так, при решении первой задачи рассматриваемого урока были найдены два способа решения. При этом если до первого способа решения (с помощью теоремы Фалеса) учащиеся додумались относительно быстро, то второй способ оказался более сложным и прежде всего это связано с дополнительным построением и поиском двух пар подобных треугольников. Решение задачи несколькими способами не только способствует осмысленному повторению изученного материала, но и повышает мотивацию обучения математике, формирует личность, способную глубоко мыслить.

Вторая, предложенная на урок задача – это задача на трапецию. Однако при её решении оказались востребованы свойства треугольников, которые повторялись в начале урока. Здесь можно говорить о внутрипредметных связях изученного геометрического материала. Особенно важны такие задачи для углубления понимания свойств геометрических фигур и их комбинаций, что, несомненно, способствует развитию математического мышления учащихся специализированного класса.

Далее приведём развёрнутый конспект урока, проведённого по теме «Треугольник и его свойства».

В начале занятия каждому учащемуся был предложен лист, содержащий следующий тест на дополнение:

ТЕСТ «Свойства треугольника»

1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна …

2. В треугольнике против большей стороны лежит …

3. Каждая сторона треугольника … двух других его сторон

4. Существуют следующие признаки равенства прямоугольных треугольников: …

5. Площадь произвольного треугольника вычисляется по формуле …

6. Медианы треугольника делят треугольник …

7. Теорема, обратная теореме Пифагора, читается так:

8. Если в треугольнике MNK угол N равен 90°, NР – высота, то NР = … , MN = … , NK = …

9. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении …

10. Если в треугольнике АВС ВК – биссектриса, то, , 

11. По теореме синусов в треугольнике АВС BC² = …

12. По теореме синусов в треугольнике АВС …

Целью выполнения этого задания было, прежде всего, повторение некоторых основных соотношений в треугольнике. При заполнении этого теста учащиеся могли пользоваться справочным материалом, который лежал на каждой парте, а также учебником геометрии. На это задание отводилось 7 минут, после чего прошла самопроверка правильности решения. С этой целью на доску были спроецированы ответы. Рядом с правильным ответом ребята ставили знак «+», а неверный отмечался значком «–».

После этого учитель собрал листы с тестом, а учащиеся открыли рабочие тетради и записали дату. Оставшееся время урока было посвящено решению задач по объявленной теме. Листочки с текстами запланированных на урок задач имел каждый ученик.

Задача 1. В треугольнике ABC сторона AB равна BC. На стороне BC взята точка К так, что ВК:КС=1:4. В каком отношении отрезок АК, пересекаясь, делит высоту треугольника, опущенную из вершины В на АС?

Вначале с учащимися обсуждается условие задачи, выясняется, что данный треугольник равнобедренный. Напоминается, как построить такой треугольник: вначале строится основание – отрезок АС, который точкой Н делится пополам, а затем проводится перпендикуляр НВ, верхняя точка которого соединяется с концами отрезка АС. Далее обсуждается, как найти положение точки К: для этого необходимо разделить сторону ВС треугольника точками на пять равных частей и обозначить точку, ближайшую к точке В, за К. Следующие за ней точки обозначим через N и М. Точку пересечения АК и ВН обозначим через Р. Требуется найти отношение ВР:РН.

Учащиеся самостоятельно выполняют чертёж в рабочих тетрадях, а также записывают кратко условие предложенной задачи.

Дано: ∆АВС, АВ = ВС, К ВС, ВК:КС=1:4, ВН_|_АС, ВН АК = Р.

Найти: ВР:РН

Затем учитель открывает доску, на которой заранее был сделан чертёж и выполнена краткая запись условия. Ученики сверяют своё оформление с предложенным на доске, и приступают к решению задачи.

Вначале на интуитивном уровне определяем, каким может быть искомое отношение: кто говорит, что это 1:3, а кто – 1:2. Выясним, кто же прав, решив эту задачу строго математически. Ребята задумываются на некоторое время. Предлагается провести через точки деления М и N прямые, параллельные отрезку АК. Возникает естественный вопрос: почему такая прямая, проведённая через точку М, пройдёт через середину Н основания АС? Объясняют это так: «Так как по точкам деления М будет серединой стороны КС треугольника АКС, то по теореме Фалеса на стороне АС отложатся равные отрезки, то есть АН = НС, что следует из свойств равнобедренного треугольника АВС». А далее «так как ВК = КN, а КN = NМ, то на стороне ВН угла СВН  по этой же теореме Фалеса отложатся равные между собой отрезки. Их, этих отрезков, всего три. Значит, высота ВН точкой Р разделилась в отношении 1:2, считая от вершины В».

После разбора решение задачи ребята записывают в тетрадь.

Решение.

1. Пусть ВН_|_АС, ВН – высота.

2. Разделим ВС на пять равных частей, тогда ВК = КN = NМ =

3. Проведём NL || AK, MH || AK (MH – средняя линия треугольника АКС)

4. Так как ВК = КN = NМ, то по теореме Фалеса на ВН отложатся равные между собой отрезки, значит, ВР:РН=1:2.

Ответ: 1:2.

Способ, которым была решена эта задача, красивый и краткий, но эту задачу, как и многие другие геометрические задачи, можно решать разными способами. Попробуем и мы найти какой-либо другой способ решения.

При решении задачи мы использовали такое понятие, как пропорциональные отрезки, и теорему Фалеса. Давайте вспомним, в какой большой теме школьного учебника геометрии рассматриваются эти вопросы. Да, конечно, это в теме «Подобие фигур». Посмотрите на исходный чертёж, на котором нет дополнительных параллельных линий. Как вы думаете, есть ли на исходном чертеже подобные треугольники? Кто-то говорит, что есть, это треугольники АРН и ВРК. Разве эти треугольники подобны? Скажите, какой признак подобия довольно часто используется при решении задач и доказательстве теорем? Да, верно, это признак подобия по двум углам. У названных ребятами треугольников есть пара равных углов – это углы АРН и ВРК, они вертикальные. А второй пары равных углов нет: посмотрите, треугольник АРН прямоугольный, а ВРК – нет. Можно ли выполнить дополнительное построение так, чтобы получился треугольник с вершинами В и Р, но имеющий прямой угол, т.е., подобный треугольнику АРН? Предлагается продолжить отрезок АК за точку К до пересечения с лучом BG параллельно AС. Учитель выполняет на доске все необходимые построения, а учащиеся – у себя в тетрадях, записав перед этим решением «Способ 2».

Учитель обращается к классу с вопросом, какие пары треугольников будут подобны и почему? Замечают такую пару треугольников: ВКG и АКС, и прежде всего потому, что углы ВКG и АКС равны, так как они вертикальные. Углы ВGК и САК также равны между собой как внутренние накрест лежащие при параллельных ВG и АС и секущей АG. Что же следует из подобия этих треугольников? Из подобия следует пропорциональность соответственных сторон и предложил следующую пропорцию:  . Но по условию задачи левая часть этого равенства равна , а это значит, что на ВG приходится одна часть, а на АС – четыре. Если ВG обозначить за х, то АС = 4х, а АН = 2х – по свойству высоты равнобедренного треугольника.

Далее рассматриваем вторую пару треугольников – прямоугольных треугольников АРН и ВРG, так как у них есть пара равных острых углов – это внутренние накрест лежащие углы ВGА и НАР. Замечаем другие равные острые углы – вертикальные, АРН и ВРG. Конечно, можно и эту пару рассмотреть, но почему треугольник ВРG будет прямоугольным? Это будет потому, что если прямая ВН перпендикулярна АС – одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой прямой – прямой ВG.

Что же следует из подобия этих прямоугольных треугольников? Говорим о пропорциональности соответственных сторон этих треугольников, т.е. о том, что . Но из подобия первой пары треугольников мы получили, что , значит, и  

Запишем теперь это решение себе в тетрадь.

Решение

1. Продолжим АК до пересечения с BG, где BG||АС.

2. ∆ВКG  ~ ∆CKA (угол BКG равен углу АКС – вертикальные углы, угол КBG равен углу КСА – накрест лежащие углы при параллельных прямых BG и АС и секущей ВС), поэтому 

3. Если BG = х, то АН = 2х (в равнобедренном треугольнике высота АН делит основание АС пополам)

4. ∆ВРG ~ ∆НРA (угол BРG равен углу  НРА – вертикальные углы, угол РGВ равен углу РАН – накрест лежащие углы при параллельных прямых BG и АС и секущей АG), поэтому 

Ответ: 1:2.

Таким образом, мы решили данную задачу двумя различными способами и получили, как и полагается при правильном решении, одинаковый ответ. Конечно, второе решение оказалось более длинным, однако поиск и обоснование подобия треугольников делает это решение по-своему интересным.

Рассмотрим теперь вторую задачу, задачу на трапецию, при решении которой используются свойства треугольников.

Задача 2. В равнобедренной трапеции АВСD AD – основание, равное 2, а угол А равен 60⁰ . Биссектриса угла, диагональ ВD и высота СМ пересекаются в одной точке. Найти ВС.

Пусть АВСD – данная трапеция, а точка Р – точка пересечения указанных в условии задачи отрезков. Если обозначить длину верхнего основания ВС трапеции за х, тогда  АК = MD = 1 – , а АВ = 2 – х (катет лежит против угла в 30⁰).

Анализируя условие задачи, сопоставляя выполненный чертёж с чертежом ко второму способу решения первой задачи, можно в последнем чертеже сразу заметить пару подобных прямоугольных треугольников. Это треугольники ВСР и МDР. Кроме прямых углов, у них имеются вертикальные углы (или пара накрест лежащих углов). Здесь учитель обращает внимание ребят на аналогию с решением предыдущей задачей.

Из подобия следует, что пропорциональны соответствующие стороны треугольников, т.е. . Учитывая введённые выше обозначения, получим:  (1).

По свойству биссектрисы угла треугольника для ∆ABD имеем следующую пропорцию:   , или  (2).

Так как правые части равенств (1) и (2) равны, то по свойству верных равенств получим: . Используя свойство пропорций, приходим к уравнению  Это уравнение имеет два иррациональных корня. Больший корень равен , он не подходит по условию:  а, значит, и . Поэтому верхнее основание .

При решении этой задачи, кроме указанных свойств биссектрисы угла треугольника и подобия треугольников, используются свойства: катета, лежащего против угла в 30⁰, сторон и углов равнобедренной трапеции, прямоугольника, верных равенств и свойство пропорций.

Также как и при решении предыдущей задачи, поиск плана решения данной задачи проводится вместе с классом, краткую запись условия и решение задачи в тетрадь предлагается оформить учащимся самостоятельно.

Дома предлагается решить следующую задачу, представленную в начале урока на листочках с текстами запланированных задач:

Задача 3. В треугольнике ABC АВ=5, ВС=10, АС= . АН – высота, АМ – медиана, ВК – биссектриса. Найдите площадь треугольника, образованного АН, АМ, и ВК.

При подведении итогов урока была отмечена высокая активность работы класса по разрешению проблемных ситуаций при решении предложенных задач. Уроки повторения изученного материала в девятом классе особенно необходимы, так как учащимся предстоит испытание основным государственным экзаменом.